\documentclass{beamer}

\usepackage[utf-8]{inputenc}
\usepackage{units}

\renewcommand{\figurename}{Abb}


\author{Sebastian Wilken}
\title{Anfängerpraktikum Physik \\[12pt]\textbf{Signalübertragung auf LC-Ketten und Koaxialkabeln I}}
\institute{Carl-von-Ossietzky-Universität Oldenburg, Institut für Physik}
\date{21. Juni 2006}

\begin{document}

\frame{\titlepage}

\frame{
\frametitle{Inhalt}
\tableofcontents
[pausesections]
}

\section{1. Einführung}
\subsection{1.1. Kabel-Verbindungen im Modell}

\begin{frame}
\frametitle{1.1. Kabel-Verbindungen im Modell}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{ersatzschaltbild.png}
\caption{Ersatzschaltbilder für Kabel-Verbindungen zwischen $A$ und $B$.}
\end{center}
\label{ersatzschaltbild1}
\end{figure}  

Eine Kabel-Verbindung zwischen zwei Geräten $A$ und $B$ verfügt im Modell über:

\begin{itemize}
\item einen ohmschen Widerstand $R$ zwischen den Geräten,
\item eine zu $R$ in Reihe liegende Spule $L$,
\item einen zwischen den Leitungen liegenden Kondensator $C$, sowie
\item einen Widerstand mit dem Leitwert $G$ zwischen den Leitungen.
\end{itemize}
\end{frame}


\subsection{1.2. $LC$-Ketten}
\begin{frame}
\frametitle{1.2. $LC$-Ketten}

\begin{itemize}
\item $R$ verursacht eine Dämpfung des Signals zwischen $A$ und $B$.
\item Wir betrachten hier Kabel mit $R \rightarrow 0$ und $G \rightarrow 0$.
\item Zum Verständnis realer Kabel untersuchen wir in diesem Versuch $LC$-Ketten, also periodische Anordnungen mehrerer gleicher und diskreter $LC$-Glieder.
\end{itemize} \vspace{18pt} \pause

Verwendete Typen von $LC$-Ketten:

\begin{enumerate}[\hspace{12pt}(a)]
 \item 5 bis 20 Glieder mit je $L = \unit[1]{mH}$ und $C = \unit[1]{nF}$
 \item 5 Glieder mit je $L = \unit[1]{mH}$ und $C = \unit[100]{nF}$
\end{enumerate}
\end{frame}



\section{2. Praktischer Teil}
\subsection{2.1. Signalverzerrung durch $LC$-Glieder}

\begin{frame}
\frametitle{2.1. Signalverzerrung durch $LC$-Glieder}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{schaltung1.png}
\caption{Versuchsaufbau zur Messung mit $LC$-Ketten.}
\end{center}
\label{schaltung1}
\end{figure}

\begin{itemize}
 \item $R_1 = \unit[1]{k\Omega}$, $C_1 = \unit[4,7]{nF}$
 \item FG: Rechteckspannung, $\nu = \unit[1]{kHz}$, $U = \unit[5]{V}$.
 \item Abschlusswiderstand $R$ für reflexionsarmen Fall.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{2.1. Signalverzerrung durch $LC$-Glieder}

Folgende Signalverläufe konnten wir beobachten:

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=1.0\textwidth]{verzerrung_kl.png}
\caption{Beobachtete Signalverläufe ohne $LC$-Kette (links) sowie mit je 5 Gliedern des Typs (a) (mitte) und (b) (rechts).}
\end{center}
\label{verzerrung}
\end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{2.1. Signalverzerrung durch $LC$-Glieder}
Bestimmung der Anstiegs- und Abfallzeiten:\\[6pt] \pause
\begin{enumerate}[(1)]
 \item Ohne $LC$-Kette
\begin{itemize}
 \item Anstiegszeit: $\tau_r = 2{,}3 \pm \unit[0,2]{\mu s}$
 \item Abfallzeit: $\tau_f = 10{,}1 \pm \unit[0,2]{\mu s}$\\[12pt]
\end{itemize} \pause

 \item 5 Glieder von Typ (a)
\begin{itemize}
 \item Abschlusswiderstand: $R = \unit[1000]{\Omega}$
 \item Anstiegszeit: $\tau_r = 2{,}4 \pm \unit[0,2]{\mu s}$
 \item Abfallzeit: $\tau_f = 9{,}1 \pm \unit[0,2]{\mu s}$\\[12pt]
\end{itemize} \pause

 \item 5 Glieder von Typ (b)
\begin{itemize}
 \item Abschlusswiderstand: $R = \unit[100]{\Omega}$ 
 \item Anstiegszeit: $\tau_r = 18{,}0 \pm \unit[0,2]{\mu s}$
 \item Abfallzeit: $\tau_f = 14{,}0 \pm \unit[0,2]{\mu s}$
\end{itemize}
\end{enumerate}

\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{2.1. Signalverzerrung durch $LC$-Glieder}
\textbf{Interpretation:}\\[4pt]
\begin{itemize}
 \item Bei angelegten $LC$-Ketten tritt Signalverzerrung auf.
 \item Bei $LC$-Ketten des Typs (b) ist die Verzerrung größer.
 \item Grund für die Verzerrung ist die Abbruchfrequenz:
\end{itemize}

\begin{equation}
\omega_a = \frac{2}{\sqrt{LC}}
\end{equation}

\begin{itemize}
 \item Es werden nicht alle \textsc{Fourier}-Komponenten übertragen.
 \item Da bei $LC$-Ketten des Typs (b) die Kapazität größer und $\omega_a$ somit kleiner ist, wird das Signal schlechter übertragen.
\end{itemize}

\end{frame}


\subsection{2.2. Verzögerungszeit eines $LC$-Kettengliedes}
\begin{frame}
\frametitle{2.2. Verzögerungszeit eines $LC$-Kettengliedes}

\begin{itemize}
 \item Wir verwenden den selben Aufbau wie im letzten Versuch.
 \item Abschlusswiderstand $R$ für reflexionsarmen Fall.
 \item Für 5 Glieder des Typs (b) und 20 Glieder des Typs (a) bestimmen wir die Verzögerungszeit.
 \item Vergleich mit theoretischen Werten für folgende Fälle:
\end{itemize}

\begin{equation}
\omega \ll \omega_a: ~~ \tau_1 = \sqrt{LC}
\end{equation}

\begin{equation}
\omega = \omega_a: ~~ \tau_2 = \frac{\pi}{2} \sqrt{LC}
\end{equation}

\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{2.2. Verzögerungszeit eines $LC$-Kettengliedes}

\textbf{Versuchsergebnisse:} \\[4pt]

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|} \hline
 LC-Kette & $\Delta$t pro Glied / $\mu$s & $\tau_1$ / $\mu$s & $\tau_2$ / $\unit{\mu s}$ \\ \hline
5 Glieder Typ (b) & $10{,}8 \pm 0{,}2$ & $10{,}0$ & $15{,}7$ \\ 
20 Glieder Typ (a) & $1{,}0 \pm 0{,}05$ & $1{,}0$ & $1{,}6$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{6pt}

\textbf{Interpretation: }\\[4pt]
\begin{itemize}
 \item Messwerte stimmen besser mit dem Fall $\omega \ll \omega_a$ überein.
 \item Erklärung: Frequenz des verwendetes Signals von $\omega = 2\pi \cdot \unit[1]{kHz}$ ist viel kleiner als die Abbruchfrequenzen von $\omega_a = \unit[2000]{kHz}$ (Typ (a)) und $\omega_a = \unit[200]{kHz}$ (Typ (b)).
 \item Übereinstimmung beim Typ (a) größer, da die Bedingung $\omega \ll \omega_a$ hier besser erfült ist.
\end{itemize}

\end{frame}


\subsection{2.3. Bestimmung des Reflexionskoeffizienten}
\begin{frame}
  \frametitle{2.3. Bestimmung des Reflexionskoeffizienten}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{schaltung2.png}
\caption{Versuchsaufbau zur Bestimmung des Reflexionskoeffizieten.}
\end{center}
\label{schaltung2}
\end{figure}

\begin{itemize}
 \item Für $R = 0{,}1 \cdot R_A = \unit[0,1]{k\Omega}$ und $R = 10 \cdot R_A = \unit[10]{k\Omega}$ bestimmen wir Amplitude und Vorzeichen des Eingangssignals $U_e$ und des reflektierten Signals $U_r$.
\item Den Reflexionskoeffizieten $\rho$ bestimmen wir so:
\end{itemize}

\begin{equation}
\rho = \frac{U_r}{U_e}
\end{equation}

\end{frame}


\begin{frame}
  \frametitle{2.3. Bestimmung des Reflexionskoeffizienten}

Zur Bestimmung der theoretischen Werte von $\rho$ verwenden wir folgende Gleichung:

\begin{equation}
\rho_{theo} = \frac{R - Z_0}{R + Z_0} = \frac{R - \sqrt{\frac{L}{C}}}{R + \sqrt{\frac{L}{C}}}
\end{equation}

\textbf{Versuchsergebnisse:}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|} \hline
 $R / \unit{k\Omega}$ & $U_r / \unit{mV}$ & $U_e / \unit{mV}$ & $\rho$ & $\rho_{theo}$ \\ \hline
$0{,}1$ & $-440 \pm 10$ & $+410 \pm 10$ & $-1{,}07 \pm 0{,}05$ & $-0{,}82$ \\ 
$10{,}0$ & $+430 \pm 10$ & $+410 \pm 10$ & $+1{,}05 \pm 0{,}05$ & $+0{,}82$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Interpretation:}
\begin{itemize}
 \item Abweichung zwischen $\rho$ und $\rho_{theo}$ von etwa $22\%$ bzw. $23\%$.
 \item Grund: Nicht-Berücksichtigung der Reflexionen am Eingangswiderstand, am OP und in den Kabel-Verbindungen.
\end{itemize}

\end{frame}




\subsection{2.4. Bestimmung der Abbruchfrequenz und der Dispersion}
\begin{frame}
\frametitle{2.4. Bestimmung der Abbruchfrequenz und der Dispersion}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{schaltung3.png}
\caption{Versuchsaufbau zur Messung der Abbruchfrequenz und Dispersion.}
\end{center}
\label{schaltung3}
\end{figure}

\begin{itemize}
 \item Wir entfernen den OP aus dem Aufbau und verwenden 20 $LC$-Glieder des Typs (a).
 \item FG: Sinusförmiges Signal, Ausgangswiderstand bei $\unit[50]{\Omega}$.
 \item Für verschiedene Frequenzen zwischen $\nu = \unit[10]{kHz}$ und $\nu = \unit[320]{kHz}$ bestimmen wir Amplitude $U_R$ über $R$ und die Phasenverschiebung $\Delta \varphi$ zum Signal des FG.
\end{itemize}

\end{frame}



\begin{frame}
\frametitle{2.4. Bestimmung der Abbruchfrequenz und der Dispersion}
\textbf{Auswertung:}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{versuch_3_4_a.png}
\caption{Amplitude $U_R$ über der Frequenz $\nu$.}
\end{center}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{2.4. Bestimmung der Abbruchfrequenz und der Dispersion}

Geradengleichung der Ausgleichsgeraden:

\begin{equation}
U_R(\nu) = -0{,}0014 \cdot \nu + 4{,}76
\end{equation}

Nullstellenbestimmung führt auf Abbruchfrequenz von:

\begin{equation}
\omega_a = \unit[2108 \pm 118{,}8]{kHz}
\end{equation} \\[12pt]

Für den theoretischen Wert gilt:

\begin{equation}
\omega_{a,theo} = \frac{2}{\sqrt{LC}} = \unit[2000]{kHz}
\end{equation} \\[12pt]

Somit liegt unser Messwert im Bereich des erwarteten Wertes.

\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{2.4. Bestimmung der Abbruchfrequenz und der Dispersion}

Für die erwarteten Phasenverschiebungen gilt:

\begin{equation}
\Delta \varphi_{theo} = 20 \cdot \left( \frac{2}{\omega} \arcsin \frac{\omega \sqrt{LC}}{2} \right) \cdot \omega
\end{equation}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{versuch_3_4_b.png}
\caption{Phasenverschiebung $\Delta \varphi$ über der Frequenz $\nu$.}
\end{center}
\end{figure}

\end{frame}


\subsection{2.5. Messung der Eindringtiefe als Funktion der Frequenz}
\begin{frame}
\frametitle{2.5. Messung der Eindringtiefe als Funktion der Frequenz}

\begin{itemize}
 \item FG: $\nu = \unit[350]{kHz}$; $U_F = \unit[5{,}2]{V}$.
 \item Wir bestimmen nun die Amplitude $U_n$ über dem $n$-ten Kettenglied mit $n = 1, 2, 3, ...$
 \item Durch lineare Regression in halb-logarithmischer Darstellung wird der Wert von $n$ ermittelt, bei dem $U_R$ auf $\unit[1{,}91]{V} = \frac{1}{e} \cdot U_F$ abgesunken ist. \\[12pt]
\end{itemize} 

\textbf{Versuchsergebnisse:} \\[12pt]

\begin{tabular}{|l|l||l|l|} \hline
$n$ & $U_n / \unit{mV}$ & $n$ & $U_n / \unit{mV}$\\ \hline
1 & $2040 \pm 10$ & 5 & $116 \pm 2$\\
2 & $1080 \pm 10$ & 6 & $64 \pm 2$\\
3 & $590 \pm 10$ & 7 & $31 \pm 2$\\
4 & $270 \pm 10$ & 8 & $20 \pm 2$\\ \hline
\end{tabular}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{2.5. Messung der Eindringtiefe als Funktion der Frequenz}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{versuch_3_5.png}
\caption{$\ln(U_n)$ über n.}
\end{center}
\end{figure}

Wir erhalten eine Eindringtiefe von $n = 1{,}13 \pm 0{,}16$.

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{center}
\begin{huge}\textrm{\textit{Ende!}}\end{huge}
\end{center}

\end{frame}

\end{document}